Verschillende manieren om de Stelling van Pythagoras te bewijzen: voorbeelden, beschrijving en beoordelingen

Eén ding is zeker honderd procent dat de vraag, die gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde is, elke volwassen vrijmoedig antwoorden: "de som van de kwadraten van de benen" Deze stelling is stevig vast in de hoofden van ieder opgeleid persoon, maar je gewoon iemand vragen om het te bewijzen, en er kunnen problemen zijn. Daarom laten we niet vergeten en overweeg verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen.

Een overzicht van de biografie

De stelling van Pythagoras is bekend bij bijna iedereen, maar om wat voor reden dan ook, het menselijk leven, die zij heeft geleverd aan het licht, is niet zo populair. Dit vastzetbaar. Daarom, voordat je de verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen te verkennen, moeten we kort kennis te maken met zijn persoonlijkheid.

Pythagoras - filosoof, wiskundige, filosoof oorspronkelijk uit het oude Griekenland. Tegenwoordig is het heel moeilijk om zijn biografie te onderscheiden van de legendes die in het geheugen van deze grote man hebben vastgesteld. Maar het blijkt uit de werken van zijn volgelingen, werd Pifagor Samossky geboren op het eiland Samos. Zijn vader was een steenhouwer normaal, maar zijn moeder kwam uit een adellijke familie.

Volgens de legende, de geboorte van Pythagoras voorspelde vrouw genaamd Pythia, in wiens eer en de naam van de jongen. Volgens haar voorspelling van de geboorte van een jongen zou veel voordeel en goedheid te brengen voor de mensheid. Dat het in feite deed hij.

De geboorte van de stelling

In zijn jeugd, Pythagoras verplaatst van Samos naar Egypte voor een ontmoeting met de Egyptische wijzen bekend. Na een ontmoeting met hen, werd hij toegelaten tot de opleiding, en wist waar alle grote successen van de Egyptische filosofie, wiskunde en geneeskunde.

Het was waarschijnlijk in Egypte Pythagoras geïnspireerd door de majesteit en de schoonheid van de piramides en creëerde zijn grote theorie. Het kan lezers te shockeren, maar de moderne historici geloven dat Pythagoras zijn theorie niet heeft bewezen. En alleen bijgebracht zijn kennis van volgelingen die later afgerond alle benodigde wiskundige berekeningen.

Wat het ook was, is nu bekend meer dan één methode van het bewijs van deze stelling, maar meerdere. Vandaag de dag kan alleen maar raden hoe de Grieken maakten hun berekeningen, dus er zijn verschillende manieren om te kijken naar het bewijs van de stelling van Pythagoras.

De stelling van Pythagoras

Voordat u begint met een berekening, moet u om uit te vinden welke theorie te bewijzen. De stelling van Pythagoras is: "In een driehoek waarbij één van de hoeken ^ongeveer 90, de som van de kwadraten van de benen gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa."

In totaal zijn er 15 verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen. Dit is een vrij hoog cijfer, dus let op de meest populaire van hen.

werkwijze ene

In de eerste plaats geven we dat we krijgen. Deze gegevens zullen worden uitgebreid naar andere methoden van het bewijs van de stelling van Pythagoras, dus het is goed om alle bestaande benamingen herinneren.

Neem aan gegeven rechthoekige driehoek met benen en een hypotenusa gelijk aan c. De eerste methode is gebaseerd op het bewijs dat, als gevolg van een rechthoekige driehoek die nodig is om het plein af te maken.

Daarvoor moet je een beenlengte van een segment gelijk is aan een been afwerking, en vice versa. Dus het moet twee gelijke zijden van het plein te hebben. We kunnen enige nadeel twee parallelle lijnen, en het vierkant is klaar.

Binnenin hebben de verkregen cijfers een vierkant te tekenen met een zijde gelijk aan de hypotenusa van de oorspronkelijke driehoek. Daartoe de hoekpunten van AC en communicatie is nodig om twee gelijke segmenten met parallelle trekken. Waarbij aldus de drie zijden van een vierkant, waarvan de oorspronkelijke rechthoekige driehoeken de hypotenusa. Docherty blijft alleen het vierde segment.

Op basis van het resulterende patroon kan worden geconcludeerd dat de achterzijde van het vierkant is gelijk aan (a + b) ^2. Als je kijkt naar de cijfers, kunt u zien dat naast het binnenplein heeft vier rechthoekige driehoeken. Het oppervlak van elk 0,5av.

Daarom is het gebied gelijk aan: 4 * 0,5av + ^c2 = ^a2 + 2AV

Derhalve wordt (a + b) ² = ^C2 + 2AV

Daarom, ² = ^a2 + ²

Dit bewijst de stelling.

Methode twee: soortgelijke driehoeken

Deze formule is het bewijs van de stelling van Pythagoras werd afgeleid op basis van de instemming van de geometrie van deze driehoeken. Zij dat de benen van een rechthoekige driehoek - de gemiddelde verhouding tot de hypotenusa en de lengte van de hypotenusa, die uit de top ^90.

De eerste gegevens zijn hetzelfde, dus laten we beginnen onmiddellijk met het bewijs. Vestigen loodrecht op de zijde van het segment AB CD. Op basis van bovenstaande goedkeuring benen van driehoeken zijn gelijk:

AC = √AV * AD, CB = √AV * DV.

Op de vraag hoe de stelling van Pythagoras te bewijzen te beantwoorden, moet het bewijs worden geleid door de kwadratuur van beide ongelijkheden.

AC ² = AB * BP en CB ² = AB * DV

Nu moet je de resulterende ongelijkheid optellen.

AU ^{2 2} + CB = AB * (BP * ET) waarbij BP = AB + ET

Het blijkt dat:

AC ² + ² = CB AB * AB

En daarom:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

Het bewijs van de stelling van Pythagoras en de verschillende manieren van de oplossing moet veelzijdige aanpak van dit probleem. Echter, deze optie is een van de eenvoudigste.

Een andere berekeningswijze

Beschrijving van de verschillende manieren om de Stelling van Pythagoras te bewijzen kan niets te zeggen, zolang de meeste niet zichzelf zijn begonnen om te oefenen. Veel van de technieken omvatten niet alleen wiskunde, maar ook de bouw van de oorspronkelijke driehoek nieuwe cijfers.

In dit geval is het noodzakelijk om de BC been van een rechthoekige driehoek IRR voltooien. Dus nu zijn er twee driehoeken met het been gemeenschappelijke Sun.

Wetende dat de gebieden met dezelfde cijfers hebben een verhouding zoals de kwadraten van hun soortgelijke lineaire afmetingen, dan:

S _ABC * ² - ^S2 * _HPA = S * en _AVD ² - ^S2 * een _VSD

_Abc * S ^(2-C2) = ^a2 * (S _AVD -S _VVD)

-de ^{2 2} = ^a2

² = ^a2 + ²

Als gevolg van de verschillende methoden van het bewijs van de stelling van Pythagoras aan groep 8, deze optie is nauwelijks geschikt, kunt u de volgende procedure gebruiken.

De eenvoudigste manier om de stelling van Pythagoras te bewijzen. beoordelingen

Er wordt aangenomen door historici, werd deze methode voor het eerst gebruikt voor het bewijs van de stelling in het oude Griekenland. Hij is de gemakkelijkste omdat het niet absoluut geen betaling te eisen. Als u correct een tekening maken, het bewijs van de stelling dat een ² + ² = c ^2, zal het duidelijk te zien.

Voorwaarden voor dit proces zal enigszins afwijken van de vorige. Om de stelling te bewijzen, gaan ervan uit dat de rechthoekige driehoek ABC - gelijkbenige.

Hypotenuse AC nemen over de richting van het plein en docherchivaem haar drie kanten. Daarnaast is het noodzakelijk om twee diagonale lijnen geven een vierkant vormen. Dus, om vier gelijkzijdige driehoeken erin te krijgen.

Door Catete AB en CD als nodig is Docherty op het plein en aanhouden op een diagonale lijn in elk van hen. Trek een lijn van het eerste hoekpunt A, een tweede - van C.

Nu moeten we een korte blik op het resulterende beeld te nemen. Zoals de schuine zijde AC vier driehoeken gelijk is aan het origineel, maar in Catete twee, het spreekt over de juistheid van deze stelling.

By the way, dankzij deze techniek, het bewijs van de stelling van Pythagoras, en ontstond de beroemde zin: "Pythagoras broek in alle richtingen gelijk zijn"

J. Bewijs. Garfield

Dzheyms Garfild - de twintigste president van de Verenigde Staten van Amerika. Daarnaast heeft hij zijn sporen nagelaten in de geschiedenis als de heerser van de Verenigde Staten, was hij ook een begenadigd autodidact.

Aan het begin van zijn carrière was hij een vaste docent aan de folk school, maar al snel werd de directeur van een van de instellingen voor hoger onderwijs. Het verlangen naar zelfontplooiing en stelde hem in staat om een nieuwe theorie van het bewijs van de stelling van Pythagoras te stellen. Stelling en een voorbeeld van de oplossing als volgt.

Ten eerste is het noodzakelijk gebruik te maken van het papier twee rechthoekige driehoek, zodat een been waarvan een voortzetting daarvan. De hoekpunten van deze driehoeken moet worden aangesloten om uiteindelijk het krijgen van een trapeze.

Zoals bekend, het gebied van een trapezium is gelijk aan het product van de halve som van de basis en de hoogte.

S = a + b / 2 * (a + b)

Als we het resulterende trapezium als figuur uit drie driehoeken, kan de oppervlakte als volgt worden gevonden:

S = w / 2 * 2 + ^2/2

Nu is het noodzakelijk om de twee oorspronkelijke uitdrukking te egaliseren

2AV / 2 + C / 2 = (a + b) ^2/2

² = ^a2 + ²

Over Pythagoras en hoe om te bewijzen dat je niet kan schrijven een enkel volume leerboek. Maar heeft het zin als die kennis in de praktijk niet kunnen worden toegepast?

Praktische toepassing van de stelling van Pythagoras

Helaas, in de moderne school leerplan biedt voor het gebruik van deze stelling alleen in geometrische problemen. Afgestudeerden zal binnenkort verlaten de school muren, en niet weten, en hoe ze hun kennis en vaardigheden kunnen toepassen in de praktijk.

In feite, om de stelling van Pythagoras gebruiken in hun dagelijks leven kunnen elkaar. En niet alleen in de professionele activiteit, maar ook in de gewone huishoudelijke taken. Overweeg een paar gevallen waarin de stelling van Pythagoras en hoe om te bewijzen dat het kan uiterst noodzakelijk zijn.

Communicatie stellingen en astronomie

Het lijkt erop dat ze kunnen worden gekoppeld aan de sterren en driehoeken op papier. In feite, astronomie - een wetenschappelijk gebied waarin op grote schaal gebruik gemaakt van de stelling van Pythagoras.

Beschouw bijvoorbeeld de beweging van de lichtstraal in de ruimte. Het is bekend dat licht zich in beide richtingen met dezelfde snelheid. AB traject, waarbij de lichtbundel beweegt heet l. En de helft van de tijd die nodig is voor het licht om van punt A naar punt B, we noemen t. En de snelheid van het licht - c. Het blijkt dat: c * t = l

Als je kijkt naar deze zelfde straal van een ander vliegtuig, bijvoorbeeld, een ruimteschip, die beweegt met een snelheid v, dan onder dit toezicht lichamen zullen hun snelheid veranderen. Echter, zelfs de vaste elementen bewegen met een snelheid v in de tegengestelde richting.

Stel dat comic liner zweven rechts. Vervolgens de punten A en B, verscheurde tussen de balk beweegt naar links. Wanneer bovendien de bundel beweegt van punt A naar punt B, punt A tijd te bewegen, en bijgevolg is het licht gekomen naar een nieuw punt C. helft van de afstand waarop het punt A verplaatst vinden, is het noodzakelijk om de snelheid van het schip vermenigvuldigen Halve bundeltijd (t ').

d = t '* v

En om te zien hoe ver in die tijd in staat was om een lichtbundel passeren is nodig om de halverwege punt van de nieuwe beuken s en de volgende uitdrukking te markeren:

s = c * t '

Als we veronderstellen dat het lichtpunt C en B, alsmede het ruimtevaartuig - de top van een gelijkbenige driehoek, zal het segment vanaf het punt A aan de voering splitsen in twee rechthoekige driehoeken. Daarom, dankzij de stelling van Pythagoras kan de afstand die in staat zijn om een lichtbundel langs was vinden.

s = l ^{2 2} + ^d2

Dit voorbeeld is natuurlijk niet de beste, omdat slechts een paar gelukkig genoeg om het te proberen in de praktijk kan zijn. Daarom beschouwen we de meer alledaagse toepassingen van deze stelling.

Radius mobiele signaaloverdracht

Het moderne leven is onmogelijk voor te stellen zonder dat het bestaan van de smartphone. Maar hoeveel van hen zouden moeten proc als ze niet in staat om abonnees verbinding maken via mobiel?!

mobiele communicatie kwaliteit is direct afhankelijk van de hoogte waarop de antenne naar de mobiele operator. Om erachter te komen hoe ver weg van de mobiele telefoon torens kan het signaal te ontvangen, kunt u de stelling van Pythagoras te gebruiken.

Stel, u wilt de geschatte hoogte van een vaste toren vinden, zodat deze het signaal in een straal van 200 kilometer kan verdelen.

AB (hoogte van de toren) = x;

Zon (signaal straal) = 200 km;

OC (radius aarde) = 6380 km;

hier

OB = OA + AVOV = r + x

Het toepassen van de stelling van Pythagoras, komen we erachter wat de minimale torenhoogte zou moeten zijn 2.3 kilometer.

Stelling van Pythagoras in de woning

Vreemd genoeg, kan de stelling van Pythagoras nuttig zelfs in huishoudelijke zaken zoals de vaststelling van de hoogte van de kast compartiment, bijvoorbeeld. Op het eerste gezicht is er geen noodzaak om dergelijke complexe berekeningen te gebruiken, omdat je gewoon uw metingen te nemen met een meetlint. Maar velen vragen zich af waarom het bouwproces zijn er bepaalde problemen, als alle metingen over precies werden genomen.

Immers de kast gaat horizontaal en daarna verhoogd en bevestigd aan de muur. Daarom is de zijwand van de kast in het proces van opheffing van het ontwerp moet vrij en hoog stromen en diagonale ruimten.

Stel je hebt een garderobe van 800 mm diepte. De afstand van de vloer tot aan het plafond - 2600 mm. Ervaren meubelmaker zegt dat de hoogte van de behuizing moet op 126 mm minder dan de hoogte van de kamer. Maar waarom op 126mm? Neem het volgende voorbeeld.

Onder ideale afmetingen van de kast zal de werking van de Stelling van Pythagoras te controleren:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2600 mm - allemaal samen.

Laten we zeggen, de hoogte van de kast is niet gelijk aan 2474 mm en 2505 mm. vervolgens:

AU = √2505 ² + √800 = 2629 ^mm2.

Bijgevolg is dit kabinet is niet geschikt voor installatie in de kamer. Sinds wanneer pakte zijn rechtopstaande positie kan schade aan zijn lichaam.

Beschouwd als misschien wel de verschillende manieren om de Stelling van Pythagoras te bewijzen door verschillende wetenschappers, kunnen we concluderen dat het meer is dan waar. Nu kunt u de informatie in hun dagelijks leven gebruiken, en absoluut zeker van zijn dat alle berekeningen zijn niet alleen nuttig, maar ook waar.