Irrationele getallen: wat is het en wat zijn ze gebruikt?

Wat is een irrationeel getal? Waarom heten ze? Waar ze worden gebruikt en wat vormt? Weinigen kunnen zonder aarzeling om deze vragen te beantwoorden. Maar in feite, de antwoorden zijn vrij eenvoudig, maar niet alle noodzakelijke en in zeer zeldzame gevallen zijn,

De essentie en de aanwijzing

Irrationele getallen zijn eindeloos niet-periodieke decimalen. De noodzaak om dit concept te introduceren voort uit het feit dat om nieuwe uitdagingen aan te pakken onvoldoende reeds bestaande concepten van echte of echt, hele, natuurlijke en rationale getallen is geweest. Bijvoorbeeld, teneinde een vierkante berekenen is 2, is het noodzakelijk om een niet-periodieke oneindige decimale breuk te gebruiken. Daarnaast zijn veel eenvoudige vergelijkingen hebben ook geen oplossing, zonder de invoering van het concept van irrationele getallen.

Deze set wordt aangeduid als I. En, zoals duidelijk is, kunnen deze waarden niet worden weergegeven als een enkelvoudige breuk, waarvan de teller het geheel en de noemer - een natuurlijk getal.

Voor de eerste keer dat een of andere manier met dit fenomeen geconfronteerd Indiase wiskundigen in de VII eeuw voor Christus, toen het werd ontdekt dat de wortels van bepaalde hoeveelheden niet duidelijk worden geïdentificeerd. Een eerste bewijs van het bestaan van dergelijke nummers is bijgeschreven Pythagoras Hippasus, die in de studie van een gelijkbenige driehoek. Een serieuze bijdrage aan de studie van deze set hebben zelfs enkele wetenschappers die voor Christus leefde gebracht. De introductie van het concept van irrationale getallen heeft geleid tot een herziening van de bestaande wiskundig systeem, dat is waarom ze zo belangrijk zijn.

Oorsprong van de naam

Wanneer de verhouding in het Latijn - is "shot", "attitude", het voorvoegsel "ir"
aan de tegenoverliggende woord. Zo is de naam van de set van deze nummers aangeeft dat ze niet kunnen worden gecorreleerd aan een geheel getal of fractioneel, neem plaats. Dit vloeit voort uit hun aard.

Leg in het algemeen klassement

Irrationele getallen, samen met rationele verwijst naar een groep van echte of virtuele, die op hun beurt deel uitmaken van het complex. Subsets echter geen onderscheid tussen algebraïsche en transcendente soort, die hieronder zal worden besproken.

eigenschappen

Omdat de irrationele getallen - het maakt deel uit van een verzameling van reële, dan moeten gelden voor hen al hun eigenschappen, die worden bestudeerd in de rekenkunde (ook wel basic algebraïsche wetten).

a + b = b + a (commutativiteit);

(A + b) + c = a + (b + c) (associatieve);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (het bestaan van tegengestelde);

ab = ba (commutatieve wet);

(Ab) c = a (bc) (distributiviteit);

a (b + c) = ab + ac (distributieve wet);

1 ax = a

ax 1 / a = 1 (het omgekeerde van het bestaan);

Ook wordt een vergelijking gemaakt in overeenstemming met de algemene wetten en principes:

Indien a> b en b> c, dan a> c (transitieve verhouding) en. t. d.

Natuurlijk kunnen alle irrationele getallen worden omgezet met behulp van de elementaire rekenkundige bewerkingen. Eventuele bijzondere regels op.

Daarnaast is de irrationele getallen onder de Archimedes axioma. Zij stelt dat voor twee waarden van a en b is waar dat, door middel van een term als voldoende aantal keren, kan men b slaan.

het gebruik van

Ondanks het feit dat in het echte leven niet vaak te maken hebben met hen, irrationele getallen geen rekenschap geven. Ze zijn een groot aantal, maar ze zijn vrijwel onzichtbaar. We zijn omringd door de irrationele getallen. Voorbeelden bekend bij alle, - het getal pi gelijk aan of 3.1415926 ... e, hoofdzakelijk op basis van natuurlijke logaritmes, 2,718281828 ... In algebra, trigonometrie en geometrie moet ze voortdurend gebruiken. By the way, de bekende waarde van de "gulden snede", dat wil zeggen de verhouding van hoeveel van de hoog naar laag en vice versa, en Het verwijst naar deze set. Minder bekend "silver" - ook.

De getallenlijn, deze dicht, zodat tussen twee grootheden, waarvoor een aantal rationele, irrationele noodZakelijkerwijs.

Tot nu toe zijn er een heleboel onopgeloste kwesties in verband met deze set. Er zijn criteria, zoals de irrationaliteit van de maatregel en de normaliteit van het nummer. Wiskundigen nog steeds de belangrijkste voorbeelden te onderzoeken voor hun lidmaatschap van één of een groep andere. Bijvoorbeeld wordt aangenomen dat e - normale aantal, dat wil zeggen, de waarschijnlijkheid van optreden in zijn opname van verschillende figuren zijn dezelfde ... Zoals voor pi, dan is het relatief lang in onderzoek. Meet irrationaliteit ook wel waarde, geeft aan hoe goed een bepaald aantal kan worden benaderd door rationele getallen.

Algebraïsche en transcendentale

Zoals reeds vermeld, irrationele getallen voorwaardelijk verdeeld in algebraïsche en transcendente. Conventioneel omdat strikt genomen de classificatie wordt gebruikt om de veelheid C. verdelen

Onder deze benaming verbergt de complexe getallen, die de werkelijke of echte bevatten.

Dus algebraïsche waarde genoemd, die de wortel van het polynoom is niet identiek nul is. Zo zal de vierkantswortel van 2 vallen in deze categorie, omdat het een oplossing van de vergelijking x ^2-2 = 0.

Alle andere reële getallen die deze voorwaarden voldoen worden genoemd transcendentale. Deze soort en zijn de meest bekende en reeds genoemde voorbeelden - het getal pi en de natuurlijke logaritme grondtal e.

Interessant is dat noch het een noch het tweede werden oorspronkelijk gefokt door wiskundigen als zodanig is hun irrationaliteit en transcendentie is bewezen door vele jaren na hun ontdekking. Voor pi bewijs werd geleverd in 1882 en vereenvoudigd in 1894, die een einde maken aan de discussie over het probleem van de kwadratuur van de cirkel durende 2500 jaar. Het is nog steeds niet volledig begrepen, zodat moderne wiskundigen hebben werk te doen. By the way, de eerste redelijk nauwkeurige berekening van deze waarde had Archimedes. Voor hem, alle berekeningen waren ook bij benadering.

Voor e (Euler nummer of Napier), het bewijs van zijn transcendentie werd gevonden in 1873. Het wordt gebruikt bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen.

Onder andere voorbeelden - de sinuswaarden, cosinus en tangens voor nul algebraïsche waarden.