Georg Cantor: verzamelingenleer, biografie en familie wiskunde

Georg Cantor (foto toont later in het artikel) - Duitse wiskundige die de theorie van de sets ontwikkeld en introduceerde het concept van transfinite aantallen, oneindig groot, maar verschillend van elkaar. Hij gaf ook een definitie van ordinale en kardinaal getallen en hun rekenkunde gevestigd.

Georg Cantor: een korte biografie

Geboren in St. Petersburg 1845/03/03. Zijn vader was een Deense protestant Georg Waldemar Cantor, hield zich bezig met de handel, in Vol. H. En op de beurs. Zijn moeder, Mary, Bem katholiek was en kwam uit een familie van prominente musici. Toen in 1856 zijn vader George ziek werd, de familie op zoek naar een milder klimaat verhuisde eerst naar Wiesbaden vervolgens naar Frankfurt. Wiskundig talent, de jongen verscheen voor zijn 15e verjaardag tijdens haar studie aan particuliere scholen en openbare scholen in Darmstadt en Wiesbaden. Op het einde, Georg Cantor overtuigd zijn vader in zijn vastberadenheid om een wiskundige in plaats van een ingenieur.

Na een korte opleiding aan de Universiteit van Zürich in 1863. Cantor werd overgebracht naar de Universiteit van Berlijn naar natuurkunde, filosofie en wiskunde te studeren. Er werd hij onderwezen:

• Karl Theodor Weierstrass, waarvan de specialisatie in de analyse, had waarschijnlijk de grootste invloed op George;
• Ernst Kummer, die de hoogste rekenkundige geleerd;
• Leopold Kronecker, op getaltheorie specialist, die later tegen Cantor.

We brachten een semester aan de Universiteit van Göttingen in 1866, volgend jaar George schreef zijn proefschrift onder de titel "In de wiskunde, de kunst van het stellen van vragen is meer waard dan het oplossen van problemen" met betrekking tot het probleem dat Carl Friedrich Gauss onopgelost zijn gebleven in zijn Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Na een korte les aan de Berlijnse School voor meisjes begon Kantor werkzaam aan de universiteit van Halle, waar hij bleef tot het einde van zijn leven, eerst als docent, sinds 1872 als universitair docent en sinds 1879 de eerste als een professor.

onderzoek

Aan het begin van een serie van 10 werken 1869-1873, Georg Cantor beschouwd als de theorie van de nummers. Het werk weerspiegelt de passie voor het onderwerp van zijn studie en het effect van Gauss Kronecker. Op voorstel van Heinrich Eduard Heine, collega Cantor bij Halle, die zijn wiskundige talent herkend, wendde hij zich tot de theorie van trigonometrische reeks, waarin het concept van reële getallen uitgebreid.

Op basis van de werkfunctie van een complexe variabele van de Duitse wiskundige Bernhard Riemann in 1854, 1870 Cantor heeft geleerd dat deze functie slechts één richting kunnen worden voorgesteld - door trigonometrische reeks. Bij onderzoek van de reeks getallen (punten), die deze mening niet zou tegenspreken, leidde hem, in de eerste plaats, in 1872, de definitie van irrationele getallen in termen van convergente rijen rationale getallen (fracties van gehele getallen) en vervolgens naar het begin van het werk op het werk van zijn leven, set theorie en het concept van transfinite aantallen.

verzamelingenleer

Georg Cantor, de theorie die sets ontstaan in overeenstemming met het Technisch Instituut van Braunschweig wiskundige Richard Dedekind, was bevriend met hem van jongs af aan. Zij concludeerden dat de sets eindige of oneindige, zijn een aantal elementen (bijvoorbeeld getallen {0, ± 1, ± 2} ...) die een bepaalde eigenschap, met behoud van hun individualiteit. Maar wanneer Georg Cantor aangebracht op één overeenstemming bestuderen hun eigenschappen (bv {A, B, C} tot {1, 2, 3}), realiseerde hij snel dat ze verschillen in de mate van aansluiting, al was het oneindige verzamelingen , t. e. spelhervatting of een deel daarvan bevat hetzelfde aantal objecten als zij zelf. Zijn methode snel gaf verbluffende resultaten.

In 1873, Georg Cantor (wiskundige) blijkt dat rationele getallen, hoewel oneindig, telbaar, omdat ze in één-op-één overeenstemming kan worden gebracht met natuurlijke (bijv. E. 1, 2, 3 ,. D.). Hij toonde aan dat de verzameling van reële getallen bestaande uit een rationele en irrationele, en ontelbare oneindig. Wat een paradox, Cantor bewees dat de verzameling van alle algebraïsche getallen bevat net zoveel elementen als de verzameling van alle gehele getallen, en dat transcendentale nummers die niet algebraïsche zijn, die een subset van irrationele getallen is ontelbaar en daarmee hun getal groter is dan de gehele getallen en moet worden beschouwd als oneindig.

Tegenstanders en supporters

Maar het werk Cantor, waarin hij voor het eerst naar voren de resultaten te zetten, werd niet in "Krell" magazine als een van de reviewers gepubliceerd, werd Kronecker tegen. Maar na de interventie van de Dedekind het werd gepubliceerd in 1874 onder de titel "De kenmerken van alle reële algebraïsche getallen."

Wetenschap en persoonlijke leven

In hetzelfde jaar, tijdens de huwelijksreis met zijn vrouw, Valli Gutman in Interlaken, Zwitserland, Cantor ontmoette Dedekind die zo vriendelijk gereageerd op zijn nieuwe theorie. George salaris was klein, maar met het geld van zijn vader, die in 1863 overleed, had hij voor zijn vrouw en vijf kinderen het huis gebouwd. Veel van zijn werken zijn gepubliceerd in Zweden in het nieuwe tijdschrift Acta Mathematica, de redacteur en oprichter van die Gösta Mittag-Leffler, een van de eersten om het talent van de Duitse wiskundige herkennen.

Communicatie met de metafysica

Cantor theorie was volledig nieuw onderwerp van onderzoek met betrekking tot wiskunde oneindig (bijvoorbeeld de volgorde 1, 2, 3 ,. D., en complexere sets), die grotendeels afhankelijk van één-op-één relatie. Cantor Ontwikkeling van nieuwe methoden voor het instellen van vragen met betrekking tot de continuïteit en de oneindigheid leende zijn studies gemengd.

Toen hij betoogde dat oneindig veel echt bestaan, wendde hij zich tot de antieke en middeleeuwse filosofie met betrekking tot de feitelijke en potentiële oneindigheid, evenals aan het begin van de religieuze opvoeding die ouders hem gaven. In 1883, in zijn boek "Fundamentals of de algemene theorie van de sets" Kantor gecombineerd zijn concept van de metafysica van Plato.

Kronecker ook, die beweerde dat "er" alleen gehele getallen ( "God schiep de gehele getallen, de rest - het werk van de mens"), gedurende vele jaren sterk zijn argumenten afgewezen en verhinderd zijn benoeming aan de universiteit van Berlijn.

transfinite nummers

In 1895-1897 gg. Georg Cantor volledig gevormd zijn idee van continuïteit en oneindigheid, met inbegrip van een eindeloze reeks en kardinaal getallen, in zijn beroemdste werk, gepubliceerd onder de titel "Bijdrage aan de theorie van transfinite nummers" (1915). Dit werk omvat zijn conceptie, waaraan hij leiding gaf aan een demonstratie die een oneindige set in een één-op-één overeenkomst kan worden geleverd met een van zijn subsets.

Het kleinste transfinite kardinaal nummer betekende dat hij de kracht van elke set, die in één-op-één relatie kan worden gebracht met de natuurlijke getallen. Kantor beschreven zijn aleph-nul. Transfiniete groot aantal Alef aangewezen één, twee of Aleph-t. D. Voorts rekenkundige ordinalen, die vergelijkbaar is met de eindige rekenkundige was ontwikkeld. Zo heeft hij het concept van oneindigheid verrijkt.

De oppositie hij geconfronteerd, en de tijd die nodig was om ervoor te zorgen dat zijn ideeën volledig werden aanvaard, legde de complexiteit van de herwaardering van de oude vraag wat is het nummer. Kantor is gebleken dat een aantal punten op de lijn heeft een hogere capaciteit dan Aleph-nul. Dit leidde tot het bekende probleem van de continuümhypothese - geen kardinalen tussen aleph-nul en geen macht punten op de lijn. Dit probleem in de eerste en de tweede helft van de 20e eeuw is van groot belang en is onderzocht door vele wiskundigen, in Vol. H. Kurt Gödel en Paul Cohen.

depressie

Biografie Georga Kantora 1884 werd ontsierd door zijn beginnende psychische aandoening, maar hij bleef actief te werken. In 1897 hielp hij bij het eerste Internationale Congres voor Wiskundigen in Zürich te houden. Mede omdat hij de Kronecker verzet, vaak sympathiseerde hij met de jonge ontluikende wiskundigen en probeerde een manier om hen van pesterijen te redden door docenten die zich bedreigd voelen door nieuwe ideeën te vinden.

erkenning

Aan het begin van de eeuw werd zijn werk volledig erkend als een basis voor de theorie van functies, analyse en topologie. Daarnaast Kantora Georga boek diende als een stimulans voor de verdere ontwikkeling van de formalistische en intuitionist school van de logische grondslagen van de wiskunde. Dit is ingrijpend veranderd het systeem van het onderwijs en wordt vaak geassocieerd met de "nieuwe wiskunde."

In 1911, Cantor was een van degenen uitgenodigd om de viering van de 500ste verjaardag van de Universiteit van St. Andrews in Schotland. Hij ging er in de hoop om te voldoen aan Bertrand Russell, die in zijn onlangs gepubliceerde werk Principia Mathematica herhaaldelijk verwezen naar de Duitse wiskundige, maar dat gebeurde niet. University uitgereikt Cantor een eredoctoraat, maar wegens ziekte was hij niet in staat om de award in persoon te accepteren.

Cantor met pensioen in 1913 en leefde in armoede en honger tijdens de Eerste Wereldoorlog. Vieringen ter ere van zijn 70e verjaardag in 1915 werden afgelast vanwege de oorlog, maar een kleine ceremonie werd gehouden in zijn huis. Hij stierf op 1918/06/01, in Galle, in een psychiatrisch ziekenhuis, waar hij de laatste jaren van zijn leven doorbracht.

Georg Cantor: A Biography. familie

9 augustus 1874, de Duitse wiskundige trouwde Valli Gutman. Het echtpaar kreeg 4 zonen en 2 dochters. Het laatste kind werd geboren in 1886 in Cantor een nieuw huis gekocht. Steun de familie hielp hij de erfenis van zijn vader. De gezondheid van Cantor sterk van invloed op de dood van zijn jongste zoon in 1899 - omdat het nooit de depressie verlaten.