Regelmatige veelvlakken: elementen symmetrie en omgeving

Geometry is mooi, want, in tegenstelling tot de algebra, wat niet altijd duidelijk waarom en wat je denkt, geeft een visueel object. Deze prachtige wereld van de verschillende organen sieren de regelmatige veelvlakken.

Algemene informatie over regelmatige veelvlakken

Volgens velen, regelmatige veelvlakken, of zoals ze Platonische lichamen worden genoemd, beschikken over unieke eigenschappen. Met deze objecten verbonden verschillende wetenschappelijke hypothesen. Wanneer je begint met de geometrische gegevens van het lichaam te bestuderen, je je realiseert dat bijna niets over een dergelijk concept als de regelmatige veelvlakken kennen. De presentatie van deze objecten in de school is niet altijd interessant, zoveel weet niet eens meer wat ze werden genoemd. Ter nagedachtenis van de meeste mensen is het gewoon een kubus. Geen van de BG niet zo volmaakt regelmatige veelvlakken bezitten. Alle namen van deze geometrische lichamen ontstaan uit het oude Griekenland. Zij geven het aantal vlakken: de tetraëder - vierzijdige, hexahedron - Allen, octaëder - achthoek, dodecahedron - dodecaëdrische, icosahedron - icosahedral. Al deze geometrische lichaam neemt een belangrijke plaats in Plato's opvatting van het universum. Vier van hen zijn belichaamd elementen of entiteiten: de tetraëder - het vuur, de icosaëder - water cube - aarde, octaëder - lucht. Dodecaëder belichaamde alle dingen. Hij werd beschouwd als de belangrijkste, als een symbool van het universum.

De veralgemening van het concept van een veelvlak

Veelvlak is een eindige verzameling van polygonen, zodanig dat:

• elke zijde van elk van de polygonen is tegelijkertijd slechts één zijde van een veelhoek aan dezelfde zijde;
• van elk van de polygonen kunt u naar de andere door het passeren daaraan grenzende veelhoeken.

Veelhoeken die de veelvlak vormen zijn vlakken en hun kant - ribben. veelvlakken hoekpunten zijn de hoekpunten van polygonen. Indien de term veelhoek begrijpen vlakke gesloten polylijnen, kom dan een definitie van een veelvlak. In het geval van deze term wordt een deel van het vlak dat wordt begrensd door stippellijnen bedoeld, zal het oppervlak duidelijk uit veelhoekige stukken. Convexe polyhedron is het lichaam liggend op een zijde van het vlak naast de vlakken genoemd.

Een andere definitie van een veelvlak en de elementen

Polyhedron genoemd oppervlak bestaande uit veelhoeken, waarvan de geometrische lichaam begrenst. Ze zijn:

• non-convexe;
• convexe (goed en slecht).

Regelmatige veelvlak - een convex veelvlak met maximale symmetrie. Elementen van regelmatige veelvlakken:

• Tetrahedron: 6 ribben 4 zijden 5 hoekpunten;
• hexaëder (kubus) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octaëder 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Stelling van Euler

Het legt een relatie tussen het aantal randen, hoekpunten en vlakken zijn topologisch equivalent aan een bol. het aantal hoekpunten en vlakken (B + D) verschillende regelmatige veelvlakken voegen en te vergelijken met het aantal ribben, is het mogelijk om een regelset: de som van het aantal vlakken gelijk is aan het aantal hoekpunten en de randen (P) met 2. Het is mogelijk om een eenvoudige af te leiden:

• B + D = P + 2.

Deze formule geldt voor alle convexe veelvlakken.

basisdefinities

Het concept van een regelmatige veelvlak is onmogelijk te beschrijven in één zin. Het is meer gewaardeerd en volume. Om te worden erkend als zodanig is het noodzakelijk dat deze aan een aantal definities. Zo zal een geometrische lichaam een regelmatige veelvlak wanneer aan deze voorwaarden wordt voldaan:

• Het convex;
• hetzelfde aantal ribben convergeert op elk van zijn hoekpunten;
• alle facetten zijn - regelmatige veelhoeken, gelijk aan elkaar;
• Alle standhoeken gelijk.

Eigenschappen van regelmatige veelvlakken

Er zijn 5 verschillende soorten regelmatige veelvlakken:

1. Cube (hexahedron) - deze een vlakke top hoek 90 °. Het heeft een 3-zijdige hoek. Bedrag gezicht hoeken aan de top van 270 °.
2. Tetrahedron - plat tophoek van - 60 °. Het heeft een 3-zijdige hoek. Bedrag hoeken vlak bij de apex - 180 °.
3. Octaëder - plat tophoek van - 60 °. Het heeft een vierzijdige hoek. Bedrag gezicht hoeken aan de top - 240 °.
4. Dodecahedron - een platte top hoek van 108 °. Het heeft een 3-zijdige hoek. Bedrag hoeken vlak bij de apex - 324 °.
5. Icosahedron - het heeft een platte top hoek van - 60 °. Het heeft een vijfhoekige hoek. Bedrag gezicht hoeken aan de top van 300 °.

Het gebied van de regelmatige veelvlakken

Het oppervlak van de geometrische lichamen (S) wordt berekend als een regelmatige veelhoek gebied vermenigvuldigd met het aantal facetten (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Het volume van een regelmatige veelvlak

Deze waarde wordt berekend door het volume van een regelmatige pyramide waarvan de basis een regelmatige veelhoek, het aantal vlakken vermenigvuldigen, en de hoogte is de ingeschreven straal van de bol (r):

• V = 1: 3 V.

De volumes van regelmatige veelvlakken

Net als elke andere geometrische vaste, regelmatige veelvlakken hebben verschillende volumes. Hieronder zijn formules waarmee ze kunnen berekenen:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octaëder: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexaëder (kubus): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementen van regelmatige veelvlakken

Hexahedron en octaëder zijn dual geometrische lichamen. Met andere woorden, ze uit elkaar te krijgen indien het zwaartepunt van de ene wordt genomen als de bovenkant van de andere, en vice versa. Ook zijn dual icosahedron en dodecaëder. Alleen zichzelf tetraëder is tweeledig. Volgens de werkwijze van Euclides kunnen een dodecaëder hexaëder worden verkregen door het construeren van "daken" op de vlakken van de kubus. De hoekpunten van de tetraëder zijn alle 4 hoekpunten van de kubus, niet naburige paren langs de rand. Van hexaëder (kubus) kan worden verkregen, en andere regelmatige veelvlakken. Ondanks het feit dat regelmatige veelhoeken er talloze, regelmatige veelvlakken, zijn er slechts 5.

De stralen van regelmatige veelhoeken

Waarbij elk van deze geometrische lichamen zijn verbonden concentrische bollen 3:

• beschreven die door de hoekpunten;
• ingeschreven over elk van zijn vlakken in het midden daarvan;
• mediaan met betrekking tot alle randen in het midden.

De straal van de bol beschreven door de volgende formule wordt berekend:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

De straal van de ingeschreven bol wordt als volgt berekend:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

waarbij θ - tweevlakshoek die tussen aangrenzende facetten.

De gemiddelde straal van de bol kan worden berekend met de volgende formule:

• ρ = a cos π / p: sin 2 π / h,

waarin h = de hoogte van 4,6, 6,10, of 10. De verhouding van de straal van de ingeschreven beschreven en symmetrisch ten opzichte van p en q. Het wordt als volgt berekend:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

De symmetrie van veelvlakken

De symmetrie van de regelmatige veelvlakken is van primair belang voor deze geometrische lichamen. Het wordt gezien als een verplaatsing van het lichaam in de ruimte, die hetzelfde aantal hoekpunten, vlakken en randen verlaat. Met andere woorden, onder invloed van symmetrietransformaties rand vertex of gezicht behoudt zijn oorspronkelijke positie, of verplaatst naar de beginpositie van een rib, de andere hoekpunten of oppervlakken.

Elementen van symmetrie van de regelmatige veelvlakken gelden voor alle soorten geometrisch lichaam. Hier wordt uitgevoerd op de identiteit transformatie, die een van de punten in de oorspronkelijke positie verlaat. Dus, wanneer u het veelhoekige prisma kan enige symmetrieën krijgen. Elk van hen kan worden weergegeven als het product van reflectie. Symmetrie, die het product is van een even aantal reflecties, genaamd direct. Als het product een oneven aantal reflecties, dan heet het feedback. Dus alle windingen rond de lijn vertegenwoordigt rechte symmetrie. Elke reflectie veelvlak - is het omgekeerde symmetrie.

Om beter te begrijpen de symmetrie elementen van de regelmatige veelvlakken, kunt u het voorbeeld van de tetraëder te nemen. Elke lijn die door een van de hoekpunten en het midden van het passeren geometrische vorm, plaats, en door het midden van de rand tegenover het. Ieder van de wikkelingen 120 en 240 ° rond de lijn behoort tot de meerdere tetraëdrische symmetrie. Aangezien het 4 hoekpunten en gezichten, krijgen we een totaal van acht directe symmetrieën. Elk van de lijnen door het midden van de randen en het midden van het lichaam, passeert door het midden van de tegenoverliggende rand. Elke rotatie van 180 °, een zogenaamde halve slag rond een rechte symmetrie. Omdat de tetraëder heeft drie paar ribben, krijg je drie lijnen van symmetrie. Op basis van het bovenstaande kunnen we het totale aantal directe symmetrie, en met de identiteit transformatie sluiten, zal aan twaalf. Andere directe symmetrie tetraëder niet bestaat, maar het heeft 12 omgekeerde symmetrie. Bijgevolg slechts 24 kenmerk tetraëder symmetrieën. Voor de duidelijkheid, kunnen we een model van een regelmatige tetraëder gemaakt van karton op te bouwen en zorg ervoor dat het de geometrische lichaam heeft echt slechts 24 symmetrie.

Dodecaëder en icosaëder - die het dichtst bij het lichaam gebied. Icosahedron heeft het grootste aantal van de gezichten, de tweevlakshoek en de meeste van allemaal kunnen vastklampen aan de ingeschreven bol. Twaalfhoek de laagste hoek defect grootste ruimtehoek bij de top. Het kan maximaliseren in de omgeschreven sfeer te vullen.

scanning veelvlakken

Regelmatige veelvlakken scan, waarvan we allemaal aan elkaar geplakt in de kindertijd, hebben een groot aantal concepten. Bij een stel veelhoeken, wordt elke zijde waarvan geïdentificeerd slechts één zijde van de veelhoek, moet de identificatie van de partijen voldoen aan twee voorwaarden:

• van elke veelhoek, kunt u naar een veelhoek met de identificatie van de kant;
• herkenbaar zijde moet dezelfde lengte hebben.

Het is een set van polygonen die aan deze voorwaarden voldoen, en is een veelvlak scan genoemd. Elk van deze organisaties heeft een aantal van hen. Bijvoorbeeld een kubus waarvan er 11 stukken.