Meetkundige en de eigenschappen

Meetkundige belangrijk wiskunde als wetenschap, en toegepaste betekenis, omdat het een zeer breed toepassingsgebied, zelfs bij hogere wiskunde, bijvoorbeeld in de theorie van de serie. De eerste informatie over de voortgang kwam bij ons uit het oude Egypte, met name in de vorm van een bekend probleem van de Rhind papyrus uit zeven personen, met zeven katten. Variaties van deze taak werden vele malen herhaald op verschillende tijdstippen uit andere landen. Zelfs de Velikiy Leonardo Pizansky, bekend als Fibonacci (XIII c.), Tot haar sprak in zijn "Boek van de Abacus."

Zodat de meetkundige reeks heeft een eeuwenoude geschiedenis. Het is een numerieke reeks met een fout eerste lid, en elke volgende, te beginnen met de tweede wordt bepaald door een constante nul getal dat noemer progressie genoemd vermenigvuldigen van de vorige herhaling formule (meestal aangeduid met de letter q).
Vanzelfsprekend kan worden vastgesteld door elke volgende periode van de sequentie delen met de vorige, dat wil zeggen z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Bijgevolg meeste werk progressie (zn) volstaat dat kent de waarde van de eerste term van de noemer en y 1 q.

Stel bijvoorbeeld z 1 = 7, q = - 4 (q <0), wordt de volgende meetkundige verkrijgt 7-28, 112-448, .... Zoals u kunt zien, is de resulterende volgorde is niet monotoon.

Bedenk dat een willekeurige opeenvolging van monotone (verhogen / verlagen) wanneer een van de leden volgen meer / minder dan de vorige. Bijvoorbeeld, de sequentie 2, 5, 9, ... en -10, -100, -1000, ... - monotone, de tweede - een afnemende meetkundige reeks.

In het geval waarin q = 1, alle leden blijken te zijn, en wordt de voortdurend doorgaat.

De sequentie was de progressie van deze soort, moet het de volgende noodzakelijke en voldoende voorwaarde te voldoen, namelijk vanaf het tweede, elk lid moet het meetkundig gemiddelde van de aangrenzende leden.

Deze eigenschap maakt onder bepaalde twee aangrenzende bevinding willekeurige term progressie.

ne term exponentieel gemakkelijk gevonden door de formule: zn = z 1 * ^ q (n-1), z wetende eerste element 1 en de noemer q.

Aangezien de getallenreeks een bedrag, dan een paar eenvoudige berekeningen geven ons een formule voor de som van de eerste progressie van leden, namelijk berekenen:

Sn = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Vervanging in de formule zijn expressiewaarde zn z 1 * ^ q (n-1) naar een tweede somformule van de progressie verkrijgen: Sn = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Verdient de aandacht van de volgende interessant feit: de kleitablet gevonden bij opgravingen van het oude Babylon, die verwijst naar de VI. BC bevat opmerkelijke wijze de som 1 + 2 + ... + 22 + 29 = 2 de tiende macht minus 1. De verklaring voor dit fenomeen is nog niet gevonden.

We merken een van de eigenschappen van meetkundige - een onafgebroken mee zijn leden, verdeeld op gelijke afstand van de uiteinden van de sequentie.

Van bijzonder belang vanuit een wetenschappelijk oogpunt zoiets als een oneindige meetkundige reeks en het berekenen van het bedrag. Aangenomen dat (yn) - een meetkundige reeks met deler q, voldoet aan de voorwaarde | q | <1, de hoeveelheid ervan wordt verwezen naar de grens waarnaar we al weten de som van de eerste leden, met onbegrensde toename van n, dan hebben ernaar naderen van oneindigheid.

Vind dit bedrag als gevolg van het gebruik van de formule:

Sn = y 1 / (1-q).

En, zoals de ervaring leert, voor de schijnbare eenvoud van deze vooruitgang is verborgen een enorme toepassingsmogelijkheden. Bijvoorbeeld, als we construeren een reeks vierkantjes volgens het volgende algoritme verbinden van de middens van de vorige, dan vormen zij een vierkant oneindige meetkundige een 1/2 deler. Dezelfde progressie vorm en oppervlakte van driehoeken, verkregen in elke fase van de bouw en de som gelijk aan het oppervlak van het oorspronkelijke veld.