De afgeleide van de cosinus uitvoer

De afgeleide van cosinus komt overeen met de afgeleide van de sinus Afgaande - definitie van de limiet functie. Het is mogelijk om een andere methode gebruikt trigonometrische formules voor het aandrijven van de sinus en cosinus hoeken. Versneld één functie na het andere - door middel van een sinus cosinus, sinus, en differentiëren met complexe argument.

Neem het eerste voorbeeld van de uitvoer met formule (Cos (x))

Te verwaarlozen increment Ah argument x van y = Cos (x). Als de nieuwe waarde van het argument x + Ah verkrijgen van een nieuwe waarde Cos functie (x + Ah). increment dan Au functie gelijk aan cos (x + Ax) -cos (x).
(Cos (x + Ax) -cos (x)) / Ah: de verhouding van het increment functie dergelijke Ah zijn. Trekken identiteit transformaties waardoor de teller van de breuk. Recall formule verschil cosinussen, het resultaat is het werk -2Sin (Ah / 2) vermenigvuldigd met sin (x + Ah / 2). Wij vinden de limiet lim private dit product door Ah wanneer Ah neigt naar nul. Het is bekend dat de eerste (zogenaamde opmerkelijke) limit lim (Sin (Ah / 2) / (Ah / 2)) gelijk is aan 1, en beperken -sin (x + Ah / 2) gelijk sin (x) als Ax, neigt te nul.
We schrijven het resultaat: de afgeleide (Cos (x)) 'is - Sin (x).

Sommigen de voorkeur de tweede werkwijze voor het afleiden van dezelfde formule

Bekend uit trigonometrie: Cos (x) gelijk Sin (0,5 · Π-x) die gelijk Sin (x) cos (0,5 · Π-x). Vervolgens differentieerbare complexe functie - de sinus van een extra hoek (X plaats cosinus).
Men verkrijgt het product Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x)', omdat de afgeleide van de sinus cosinus van x is x. Toegang tot een tweede formule Sin (x) = cos (0,5 · Π-x) vervangen van de cosinus en de sinus van mening dat (0,5 · Π-x) = -1. Nu krijgen we sin (x).
Dus, de afgeleide van de cosinus We = sin (x) van de functie y = cos (x).

De afgeleide van cosinus kwadraat

Een vaak gebruikte voorbeeld wordt gebruikt wanneer de afgeleide van de cosinus. De functie y = Cos ² (x) complex. We de eerste differentiële krachtfunctie met exponent 2, die 2 cos (x), dan wordt vermenigvuldigd met het derivaat (cos (x)), die gelijk sin (x). Verkrijgen y '= -2 cos (x) sin (x). Indien van toepassing Sin formule (2 · x), de sinus van een dubbele hoek, het verkrijgen van de uiteindelijke vereenvoudigd
respons y '= sin (2 · x)

hyperbolische functies

Toegepast op de studie van de vele technische disciplines in de wiskunde, bijvoorbeeld, het gemakkelijker maken om integralen, oplossing berekenen van differentiaalvergelijkingen. Zij worden uitgedrukt in termen van trigonometrische functies imaginaire argumenten, zodat cosinus hyperbolicus l (x) = cos (i · x) waarbij i - een imaginaire eenheid, hyperbolische sinus sh (x) = sin (x · i).
Hyperbolische cosinus is gewoon berekend.
Beschouw de functie y ^{= (x + e e -x)} / 2, is de cosinus hyperbolicus l (x). Met de regel van het vinden van een derivaat de som van twee uitdrukkingen, verwijdering gewoonlijk constantenvermenigvuldiger (Const) voor het teken van de afgeleide. De tweede term van 0,5 · e ^-x - complexe functie (het derivaat -0,5 · e ^-x), 0,5 · ^fx - de eerste term. (L (x)) = ^((x + e e ^{- x)} / 2) 'kan anders worden geschreven: (0,5 · e · ^x + 0,5 e ^{- x)} = 0,5 · e ^x -0,5 · e ^{- x,} omdat de afgeleide (e ^{- x)} gelijk is aan -1, te umnnozhennaya e ^{- x.} Het resultaat was een verschil, en dit is de hyperbolische sinus sh (x).
Conclusie: (l (x)) = sh (x).
Rassmitrim een voorbeeld van de afgeleide van de functie y = l (x ³ 1) te berekenen.
Door differentiatie regel cosinus hyperbolicus complexe argument y '= SH (x ³ 1) · (x ³ 1) waarbij (x ³ + 1) = 3 · x ² + 0.
A: De afgeleide van deze functie is gelijk aan 3 x ² · · SH (x ³ 1).

Derivaten besproken functies y = l (x) en y = cos (x) table

Bij de beslissing van de voorbeelden is niet nodig elke keer om ze te onderscheiden van de voorgestelde regeling, genoeg gebruik maken van de output.
Voorbeeld. Differentiëren de functie y = cos (x) + ² cos (-x) -CH (5 · x).
Het is gemakkelijk te berekenen (gebruik tabelgegevens), y '= sin (x) + sin (2 · x) -5 · Sh (x · 5).