Convexe veelhoeken. Definitie van een convexe veelhoek. Diagonalen van een convexe veelhoek

Deze geometrische figuren omringen ons overal. Convexe polygonen zijn natuurlijk, bijvoorbeeld bijenhoningjes of kunstmatig (gecreëerd door mensen). Deze cijfers worden gebruikt in de productie van verschillende soorten coatings, in schilderij, architectuur, decoraties, enz. Convexe polygonen hebben de eigenschap dat al hun punten zich bevinden aan de ene kant van de lijn die door een paar naburige hoekpunten van deze geometrische figuur gaat. Er zijn andere definities. Convex is die veelhoek die zich in een enkel halfvlak bevindt met betrekking tot elke lijn die een van zijn zijden bevat.

Convexe veelhoeken

In de loop van de elementaire geometrie beschouwen we altijd alleen eenvoudige polygonen. Om alle eigenschappen van dergelijke geometrische figuren te begrijpen is het nodig om hun aard te begrijpen. Om te beginnen moet worden begrepen dat elke lijn waarvan de uiteinden samenvallen, gesloten worden genoemd. En de door hem gevormde figuur kan een verscheidenheid aan configuraties hebben. Een polygoon is een eenvoudige gesloten polygonale lijn waarvan de aangrenzende links niet op dezelfde lijn liggen. De links en pieken zijn respectievelijk de zijkanten en hoekpunten van deze geometrische figuur. Een eenvoudige polyline mag geen kruispunten hebben.

De hoekpunten van een veelhoek worden aangrenzend genoemd als zij de uiteinden van een zijde vertegenwoordigen. Een geometrische figuur die het n-th aantal hoekpunten heeft, en dus het n-th aantal zijkanten, heet een n-gon. De gebroken lijn zelf heet de grens of contour van deze geometrische figuur. Een polygonaal vliegtuig of een vlakpolygoon heet het eindige deel van elk door hem begrensd vliegtuig. De naburige kanten van deze geometrische figuur zijn de segmenten van een gebroken lijn die vanaf een vertex begint. Zij zullen niet aangrenzend zijn als ze afkomstig zijn van verschillende hoekpunten van de polygoon.

Andere definities van convexe veelhoeken

In elementaire meetkunde zijn er meer gelijkwaardige definities in termen van de waarde ervan, wat aangeeft welke polygoon convex wordt genoemd. En al deze formuleringen zijn even waar. Een convexe polygoon wordt beschouwd als:

• elk segment dat er twee punten in verbindt, ligt erin;

• liggen alle diagonalen binnenin;

• Elke inwendige hoek mag niet hoger zijn dan 180 °.

De polygoon verdeelt het vliegtuig altijd in twee delen. Een van hen is beperkt (het kan in een cirkel worden omsloten), en de andere is onbeperkt. De eerste wordt de binnenste regio genoemd, en de tweede heet de buitenste regio van deze geometrische figuur. Deze veelhoek is het kruispunt (met andere woorden - het gemeenschappelijke onderdeel) van meerdere halfvlakken. In dit geval hoort elk segment dat eindigt op de punten die bij de polygoon behoren volledig daarbij.

Variëteiten van convexe veelhoeken

De definitie van een convexe veelhoek geeft niet aan dat er veel soorten zijn. En elk van hen heeft bepaalde criteria. Zo zijn convexe polygonen die een inwendige hoek hebben die gelijk is aan 180 °, zwak convex genoemd. Een convex geometrische figuur met drie hoekpunten heet een driehoek, vier is een vierhoek, vijf is een vijfhoek, enz. Elk van de convexe n-gons voldoet aan de volgende belangrijkste eis: n moet gelijk zijn aan of groter dan 3. Elk van de driehoeken is convex. Een geometrische figuur van dit type, waarin alle hoekpunten zich op een cirkel bevinden, heet in een cirkel ingeschreven. Een convexe polygoon heet beschreven als alle zijkanten ervan in de buurt van de cirkel raken. Twee polygonen worden alleen genoemd als ze kunnen worden gecombineerd door overlapping. Een polygonaal vlak heet een vlakke polygoon (deel van het vliegtuig), dat door deze geometrische figuur wordt beperkt.

Correcte convexe polygonen

Correcte polygonen zijn geometrische figuren met gelijke hoeken en kanten. Binnen hen is er een punt 0, die op dezelfde afstand van elk van zijn hoekpunten ligt. Het heet het middelpunt van deze geometrische figuur. De segmenten die het midden verbinden met de hoekpunten van deze geometrische figuur worden apophemes genoemd, en die die het punt 0 aan de zijkanten verbinden zijn radi.

De rechter vierkant is een vierkant. Een reguliere driehoek heet gelijkzijdig. Voor dergelijke figuren bestaat de volgende regel: elke hoek van een convexe polygoon is 180 ° * (n-2) / n,

Waar n het aantal hoekpunten van deze convexe geometrische figuur is.

Het gebied van elke regelmatige veelhoek wordt bepaald door de formule:

S = p * h,

Waar p gelijk is aan de helft van de som van alle kanten van een bepaalde veelhoek, en h is gelijk aan de lengte van de apofema.

Eigenschappen van convexe polygonen

Convexe polygonen hebben bepaalde eigenschappen. Dus, het segment dat 2 punten van een dergelijke geometrische figuur verbindt, is daarbij noodzakelijkerwijs geplaatst. proof:

Veronderstel dat P een bepaalde convexe veelhoek is. We nemen 2 willekeurige punten, bijvoorbeeld A, B, die tot P. behoren. Volgens de bestaande definitie van een convexe polygoon bevinden deze punten zich aan één zijde van de lijn die elke zijde van P. bevat. AB heeft dan ook deze eigenschap en bevindt zich in P. Een convexe polygoon is altijd Het is mogelijk om in meerdere driehoeken te splitsen door absoluut alle diagonalen die uit een van zijn hoekpunten worden getrokken.

De hoeken van convexe geometrische figuren

De hoeken van een convexe veelhoek zijn de hoeken die door de zijkanten worden gevormd. Interne hoeken zijn in het interne gebied van deze geometrische figuur. De hoek die door de zijkanten wordt gevormd, die zich op één hoekpunt convergeren, heet de hoek van de convexe veelhoek. Hoeken die grenzen aan de binnenhoeken van een gegeven geometrische figuur worden extern genoemd. Elke hoek van de convexe polygoon die erin ligt, is gelijk aan:

180 ° - x,

Waar x de waarde van de externe hoek is. Deze eenvoudige formule is van toepassing op alle geometrische figuren van dit type.

In het algemeen voor externe hoeken bestaat de volgende regel: elke hoek van een convexe polygoon is gelijk aan het verschil tussen 180 ° en de waarde van de inwendige hoek. Het kan waarden variëren van -180 ° tot 180 °. Als de binnenhoek 120 ° is, dan is de buitenhoek 60 °.

De som van de hoeken van convexe polygonen

De som van de binnenhoeken van een convexe polygoon wordt bepaald door de formule:

180 ° * (n-2),

Waar n het aantal hoekpunten van de n-gon is.

De som van de hoeken van een convexe veelhoek wordt simpelweg berekend. Overweeg zo'n geometrische figuur. Om de som van de hoeken in een convexe veelhoek te bepalen, moet een van zijn hoekpunten verbonden zijn met andere hoekpunten. Als gevolg van deze actie krijgen we (n-2) driehoeken. Het is bekend dat de som van de hoeken van elke driehoek altijd 180 ° is. Aangezien hun getal in elke polygoon gelijk is aan (n-2), is de som van de inwendige hoeken van zo'n figuur 180 ° x (n-2).

De som van de hoeken van een convexe polygoon, namelijk twee inwendige en aangrenzende externe hoeken, voor een gegeven convex geometrische figuur zal altijd 180 ° zijn. Uitgaande hiervan is het mogelijk om de som van alle hoeken te bepalen:

180 х n.

De som van de inwendige hoeken is 180 ° * (n-2). Hieruit volgt de som van alle buitenhoeken van de gegeven figuur door de formule:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

De som van de buitenste hoeken van elke convexe veelhoek is altijd 360 ° (ongeacht het aantal zijden).

De buitenste hoek van de convexe polygoon wordt in het algemeen voorgesteld door een verschil tussen 180 ° en de waarde van de inwendige hoek.

Andere eigenschappen van een convexe polygoon

Naast de basiseigenschappen van deze geometrische figuren hebben ze anderen die zich voordoen bij manipulatie. Aldus kunnen elk van de veelhoeken worden verdeeld in verschillende convexe n-gons. Hiervoor is het nodig om elk van zijn kanten te doorbreken en deze geometrische figuur langs deze rechte lijnen te snijden. U kunt elke polygoon in verschillende convexe delen splitsen en zodanig dat de hoekpunten van elk van de stukken samenvallen met al zijn hoekpunten. Vanuit deze geometrische figuur is het heel makkelijk om driehoeken te maken door alle diagonalen van één hoek te houden. Zo kan elke polygoon in de uiteindelijke analyse worden verdeeld in een bepaald aantal driehoeken, wat zeer nuttig is bij het oplossen van diverse problemen die verband houden met dergelijke meetkundige figuren.

Omtrek van een convexe veelhoek

De segmenten van een gebroken lijn, de zijkanten van een polygoon, worden meestal aangeduid met de volgende letters: ab, bc, cd, de, ea. Dit zijn de zijkanten van de geometrische figuur met de hoekpunten a, b, c, d, e. De som van de lengten van alle kanten van deze convexe polygoon heet de omtrek ervan.

Cirkel van een veelhoek

Convexe polygonen kunnen worden ingevuld en beschreven. Een cirkel die aan alle kanten van deze geometrische figuur raakt, wordt hierin ingeschreven. Een dergelijke polygoon heet beschreven. Het midden van de cirkel die in de polygoon staat ingeschreven, is het snijpunt van de bisectoren van alle hoeken in een gegeven geometrische figuur. Het gebied van zo'n polygoon is gelijk aan:

S = p * r,

Waar r is de radius van de ingeschreven cirkel, en p is de semiperimeter van de gegeven veelhoek.

Een cirkel die de hoekpunten van een veelhoek bevat, wordt hierna beschreven. In dit geval wordt deze convexe geometrische figuur genaamd ingeschreven. Het middelpunt van de cirkel, die dichtbij een dergelijke polygoon wordt beschreven, vormt het snijpunt van de zogenaamde middelste loodlijnen van alle kanten.

Diagonalen van convexe geometrische figuren

Diagonalen van een convexe polygoon zijn segmenten die geen aangrenzende hoeken verbinden. Elk van hen ligt in deze geometrische figuur. Het aantal diagonalen van een dergelijk n-gon wordt vastgesteld door de formule:

N = n (n-3) / 2.

Het aantal diagonalen van een convexe veelhoek speelt een belangrijke rol in de elementaire geometrie. Het aantal driehoeken (K), waarin elke convexe veelhoek kan worden gebroken, wordt berekend aan de hand van de volgende formule:

K = n - 2.

Het aantal diagonalen van een convexe polygoon hangt altijd af van het aantal hoekpunten.

Een convexe veelhoek splitsen

In sommige gevallen, om geometrische problemen op te lossen, is het nodig om een convexe veelhoek in verschillende driehoeken met onverschillende diagonalen op te splitsen. Dit probleem kan worden opgelost door een definitieve formule af te leiden.

Definitie van het probleem: we noemen een bepaalde ontleding van een convexe n-gon in verschillende driehoeken door diagonalen die alleen kruisen bij de hoekpunten van deze geometrische figuur.

Oplossing: Stel dat P1, P2, P3 ..., Pn de hoekpunten van deze n-gon zijn. Het getal Xn is het aantal van zijn partities. We overwegen het resulterende diagonaal van de geometrische figuur Pi Pn zorgvuldig. In een van de reguliere partities behoort P1 Pn tot een bepaalde driehoek P1 Pi Pn, waarvoor 1

Laat ik = 2 een groep vaste partities zijn, altijd met de diagonale P2 Pn. Het aantal partities dat erin komt, komt samen met het aantal partities van de (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Met andere woorden, het is gelijk aan Xn-1.

Als ik = 3, dan bevat deze andere groep partities altijd diagonalen P3 P1 en P3 Pn. In dit geval komt het aantal vaste partities in deze groep overeen met het aantal partities (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Met andere woorden, het zal gelijk zijn aan Xn-2.

Laat ik = 4, dan tussen de driehoeken bevat de reguliere partitie noodzakelijkerwijs een driehoek P1 P4 Pn waaraan de vierhoek P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn, grenst aan. Het aantal vaste partities van zo'n vierhoek is gelijk aan X4, en het aantal partities van de (n-3) -gon is gelijk aan Xn-3. Op basis van al het bovenstaande kunnen we zeggen dat het totale aantal vaste partities die in deze groep aanwezig zijn, gelijk is aan Xn-3 X4. Andere groepen waarvoor i = 4, 5, 6, 7 ... Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... van reguliere partities bevatten.

Laat ik = n-2, dan komt het aantal vaste partities in de gegeven groep overeen met het aantal partities in de groep waarvoor i = 2 (met andere woorden, het is gelijk aan Xn-1).

Aangezien X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., dan is het aantal alle partities van een convexe polygoon gelijk aan:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

bijvoorbeeld:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Het aantal vaste partities snijdt een diagonaal

Bij de verificatie van bepaalde gevallen kan men ervan uitgaan dat het aantal diagonalen van convex n-gons gelijk is aan het product van alle partities van deze figuur met (n-3).

Bewijs van deze veronderstelling: veronderstel dat P1n = Xn * (n-3), dan kan elke n-gon in (n-2) -triangles worden afgebroken. Tegelijkertijd kan één van hen gecombineerd worden (n-3) -the vierhoek. Daarnaast zal elke vierhoek een diagonaal hebben. Aangezien er twee diagonalen in deze convexe geometrische figuur kunnen worden getekend, betekent dit dat het mogelijk is om extra diagonalen (n-3) in elk (n-3) -reeks vierhoeken te trekken. Uitgaande hiervan kan geconcludeerd worden dat in elke regelmatige partitie (n-3) -diagonalen kunnen worden uitgevoerd die overeenkomen met de voorwaarden van dit probleem.

Gebied van convexe polygonen

Vaak worden bij het oplossen van verschillende problemen van elementaire geometrie het gebied van een convexe veelhoek bepaald. Veronderstel dat (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n een coördinatenreeks is van alle naburige hoekpunten van een veelhoek die geen kruispunten heeft. In dit geval wordt het gebied berekend aan de hand van de volgende formule:

S = ½ (Σ (Xi + Xi _{+ 1} ) (Yi + Yi _{+ 1} )),

Waar (X1, Y1) = ( _{Xn +1} , Yn _{+ 1} ).