De theorie van waarschijnlijkheid. Waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, af en toe een gebeurtenis (kansberekening). Onafhankelijke en onverenigbare ontwikkelingen in de theorie van waarschijnlijkheid

Het is onwaarschijnlijk dat veel mensen zich afvragen of het mogelijk is om gebeurtenissen te berekenen die tot op zekere hoogte toevallig zijn. In eenvoudige woorden is het echt mogelijk om te weten welke kant van de dobbelstenen in de dobbelstenen de volgende keer zal vallen. Het was deze vraag die twee grote wetenschappers vroeg om een wetenschap zoals waarschijnlijkheidstheorie, de waarschijnlijkheid van een evenement, die in ruime mate wordt bestudeerd, gevraagd.

generatie

Als we zo'n concept als de waarschijnlijkheidstheorie proberen te definiëren, dan wordt het volgende resultaat verkregen: dit is een van de wiskundige takken die betrekking heeft op de studie van de constancy van willekeurige gebeurtenissen. Het is duidelijk dat dit concept niet echt het hele punt bekendstelt, dus het is nodig om het in meer detail te beschouwen.

Ik wil graag beginnen met de oprichters van de theorie. Zoals hierboven vermeld, waren er twee van hen, dit is Pierre Fermat en Blaise Pascal. Zij waren een van de eerste om de formules en wiskundige berekeningen te gebruiken om het resultaat van een evenement te berekenen. In het algemeen manifesteerde de begin- ning van deze wetenschap zich in de middeleeuwen. Op dat moment probeerden verschillende denkers en wetenschappers gokken, zoals roulette, botten enzovoort, te analyseren, waardoor de regelmatigheid en percentage verhouding van de val van een bepaald nummer werden vastgesteld. De basis werd in de zeventiende eeuw gelegd door de bovengenoemde wetenschappers.

In de eerste plaats zouden hun werken niet kunnen worden toegeschreven aan de grote prestaties op dit gebied, omdat alles wat ze deed, gewoon empirische feiten waren en de experimenten werden zonder de formules zichtbaar gemaakt. In de loop van de tijd bleek het resultaat te behalen, die bleek te wijten aan de observatie van het gooien van botten. Het was deze tool die de eerste begrijpelijke formules hielp.

Geliefde mensen

Het is onmogelijk om een dergelijke persoon als Christian Huygens te noemen, in het proces van het bestuderen van het onderwerp genaamd 'waarschijnlijkheidstheorie' (de kans op het evenement valt onder deze wetenschap). Deze persoon is erg interessant. Hij, evenals de bovenstaande wetenschappers, probeerde de wetten van willekeurige gebeurtenissen in de vorm van wiskundige formules af te leiden. Het is opmerkelijk dat hij het niet samen met Pascal en Fermat heeft gedaan, dat wil zeggen dat al zijn werken niet overlappen met deze gedachten. Huygens ontleent de basisbegrippen van de waarschijnlijkheidsteorie.

Het is interessant dat zijn werk al lang voor de resultaten van de werken van de ontdekkers gepubliceerd is, of liever, twintig jaar eerder. Onder de aangewezen concepten zijn de meest bekende:

• Het begrip waarschijnlijkheid als de omvang van een kans;
• Wiskundige verwachting voor discrete gevallen;
• Stellingen van vermenigvuldiging en toevoeging van waarschijnlijkheden.

Ook is het onmogelijk om Jakob Bernoulli te herinneren, die ook een belangrijke bijdrage heeft geleverd aan de studie van het probleem. Uitvoering van zijn eigen, niemand op zelfstandig testen, slaagde hij erin om een bewijs te leveren van de wet van grote aantallen. Op zijn beurt waren de wetenschappers van Poisson en Laplace, die in de vroege negentiende eeuw werkte, in staat om de originele theorems te bewijzen. Het was vanaf dit moment de theorie van de kans om fouten in de loop van de waarnemingen te analyseren, te gebruiken. De Russische wetenschappers, of meer precies Markov, Chebyshev en Diapunov, konden deze wetenschap ook niet omzeilen. Ze hebben, gebaseerd op het werk van de grote genieën, dit onderwerp als onderdeel van de wiskunde vastgesteld. Deze cijfers werkten aan het eind van de negentiende eeuw, en dankzij hun bijdrage, waren deze verschijnselen als:

• De wet van grote aantallen;
• De theorie van Markov-ketens;
• Centrale limietstelling.

Dus, met de geschiedenis van de geboorte van wetenschap en met de belangrijkste personen die het beïnvloed hebben, is alles min of meer duidelijk. Nu is het tijd om alle feiten te concretiseren.

Basisbegrippen

Voor het aanraken van wetten en theorems is het de moeite waard om de basisbegrippen van waarschijnlijkheidstheorie te bestuderen. Het evenement in het heeft een dominante rol. Dit onderwerp is vrij volumineus, maar zonder dat kun je niet alles begrijpen.

Het evenement in waarschijnlijkheidstheorie is Een aantal uitkomsten van de ervaring. Er zijn niet zo veel ideeën van dit fenomeen. Dus, wetenschapper Lotman, die op dit gebied werkt, zei dat in dit geval gaat het over wat 'gebeurde, hoewel het niet kon gebeuren'.

Willekeurige gebeurtenissen (waarschijnlijkheidstheorie schenkt bijzondere aandacht aan hen) is een concept dat absoluut enig fenomeen impliceert dat kan optreden. Of integendeel, dit scenario kan misschien niet gebeuren als aan vele voorwaarden is voldaan. Het is ook de moeite waard om te weten dat het willekeurige gebeurtenissen is die het gehele volume van de voorgevallen verschijnen. De waarschijnlijkheidsteorie geeft aan dat alle condities de hele tijd herhaald kunnen worden. Het was hun gedrag dat 'ervaring' of 'test' werd genoemd.

Een bepaalde gebeurtenis is een fenomeen dat in dit proces volledig zal gebeuren. Bijgevolg is een onmogelijk gebeurtenis een dat niet gebeurt.

Het combineren van een paar acties (conditional case A en case B) is een fenomeen dat tegelijkertijd voorkomt. Zij worden aangeduid als AB.

De som van de gebeurtenissen A en B is C, met andere woorden, als er tenminste één van hen voorkomt (A of B), dan is het resultaat C. De formule voor het beschreven fenomeen is geschreven als: C = A + B.

Niet-gezamenlijke gebeurtenissen in waarschijnlijkheidstheorie impliceren dat twee zaken elkaar onderling uit elkaar houden. Tegelijkertijd kunnen ze in elk geval niet gebeuren. Gezamenlijke gebeurtenissen in waarschijnlijkheidstheorie zijn hun antipode. Hier wordt bedoeld dat als A gebeurd is, voorkomt het niet V.

Tegenovergestelde gebeurtenissen (de waarschijnlijkheidstheorie behandelt ze in groot detail) zijn ze gemakkelijk te begrijpen. Het is het beste om ze te vergelijken in vergelijking. Ze zijn bijna hetzelfde als inconsistente gebeurtenissen in de waarschijnlijkheidsteorie. Maar hun verschil ligt in het feit dat in elk geval een van vele verschijnselen moet optreden.

Even mogelijke gebeurtenissen zijn die acties waarvan de herhaalbaarheid gelijk is. Om duidelijker te zijn, kunt u zich voorstellen om een munt te gooien: de val van een zijde is even waarschijnlijk de val van een andere.

Een gunstig evenement is makkelijker te overwegen bij een voorbeeld. Laten we zeggen dat er een aflevering B en een aflevering A is. De eerste is een dobbelsteen met een oneven getal en de tweede is het verschijning van een nummer vijf op een kubus. Dan blijkt dat A gunstig is voor B.

Onafhankelijke gebeurtenissen in de waarschijnlijkheidstheorie worden slechts in twee of meer gevallen geprojecteerd en impliceren de onafhankelijkheid van enige actie van de andere. Bijvoorbeeld, A - een staart laten vallen terwijl u een munt gooit, en B - een jack van een dek krijgen. Zij zijn onafhankelijke gebeurtenissen in de waarschijnlijkheidsteorie. Met dit moment werd het duidelijker.

Afhankelijke gebeurtenissen in waarschijnlijkheidstheorie zijn ook alleen toegelaten voor hun set. Zij impliceert een afhankelijkheid van elkaar, dat wil zeggen dat het fenomeen B alleen kan optreden als A al is voorgekomen of, omgekeerd, niet is voorgedaan, wanneer dit de voornaamste voorwaarde is voor V.

Het resultaat van een willekeurig experiment dat bestaat uit een component is elementaire gebeurtenissen. De waarschijnlijkheidstheorie legt uit dat dit een fenomeen is dat slechts één keer is voorgekomen.

Basisformules

Dus, het begrip 'gebeurtenis', 'waarschijnlijkheidstheorie' werd hierboven overwogen, en ook de basisvoorwaarden van deze wetenschap werden gegeven. Nu is het tijd om vertrouwd te worden met belangrijke formules. Deze uitdrukkingen bevestigen wiskundig alle hoofdbegrippen in zo'n ingewikkeld onderwerp als de waarschijnlijkheidstheorie. De kans op het evenement speelt hier een grote rol.

Het is beter om te beginnen met de basisformules van combinatorica. En voordat je verder gaat, is het de moeite waard te overwegen wat het is.

Combinatorica is voornamelijk een tak van wiskunde, het gaat om de studie van een groot aantal gehele getallen, evenals verschillende permutaties van de getallen zelf, hun elementen, diverse gegevens, enz., Wat leidt tot het verschijnen van een aantal combinaties. Naast de waarschijnlijkheidstheorie is deze tak belangrijk voor statistieken, informatica en cryptografie.

Dus, nu kunt u verdergaan met de representatie van de formules zelf en hun definitie.

De eerste hiervan is een uitdrukking voor het aantal permutaties, het ziet er zo uit:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

De vergelijking wordt alleen gebruikt als de elementen alleen verschillen in de volgorde van hun locatie.

Nu wordt de plaatsingsformule overwogen, het ziet er zo uit:

A_n ^ m = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n-m + 1) = n! : (N - m)!

Deze uitdrukking is van toepassing niet alleen op de volgorde van plaatsing van het element, maar ook op de samenstelling daarvan.

De derde vergelijking van combinatorica, en het is de laatste, heet de formule voor het aantal combinaties:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Een combinatie is een monster die niet is besteld, en deze regel is van toepassing op hen.

Met de combinatorische formules was het mogelijk om zonder moeite uit te sorteren, nu kunnen we verdergaan met de klassieke definitie van waarschijnlijkheden. Deze uitdrukking ziet er als volgt uit:

P (A) = m: n.

In deze formule is m het aantal voorwaarden die gebeurtenis A bevoordelen, en n is het aantal absoluut alle even mogelijke en elementaire uitkomsten.

Er zijn veel uitdrukkingen, het artikel gaat niet over alles, maar de belangrijkste worden beïnvloed, zoals de kans op de som van gebeurtenissen:

P (A + B) = P (A) + P (B) is de stelling om alleen incompatibele gebeurtenissen toe te voegen;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - deze voor aanvulling is alleen compatibel.

Waarschijnlijkheid van het evenement:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) is de stelling voor onafhankelijke gebeurtenissen;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A; B)) en dit voor de afhankelijke

Beëindig de lijst met evenement formules. De theorie van waarschijnlijkheid vertelt ons over de stelling Bayes, die er zo uitziet:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) nnP (H_k) P (AHH_k)), m = 1, n

In deze formule is H1, H2, ..., Hn een complete set van hypothesen.

We zullen hierop nadenken, we zullen verder onderzoeken over voorbeelden van het toepassen van formules om specifieke problemen uit de praktijk op te lossen.

voorbeelden

Als u een gedeelte van de wiskunde nauwkeurig bestudeert, doet het niet zonder oefeningen en steekproefoplossingen. Dus de waarschijnlijkheidsteorie: gebeurtenissen, voorbeelden hier zijn een integraal onderdeel, waarmee wetenschappelijke berekeningen worden bevestigd.

De formule voor het aantal permutaties

Laten we zeggen dat er dertig kaarten in een kaartdek zijn, beginnend met een nominale waarde van een. Volgende vraag. Hoeveel manieren zijn er manieren om het deck te vouwen, zodat kaarten met een nominale waarde een en twee niet naast elkaar staan?

De taak is ingesteld, laten we nu doorgaan met de oplossing. Ten eerste moeten we het aantal permutaties van dertig elementen bepalen, want we nemen de bovenstaande formule, we krijgen P_30 = 30!.

Op basis van deze regel leren we hoe veel opties er op verschillende manieren kunnen vouwen, maar we moeten ze aftrekken van die waarin de eerste en tweede kaarten de volgende zullen zijn. Om dit te doen beginnen we met de optie, wanneer de eerste boven de tweede is. Het blijkt dat de eerste kaart negenentwintig plaatsen kan plaatsen - van de eerste tot de negentien en de tweede kaart van de tweede tot de 30e, je krijgt maar negenentwintig plaatsen voor een paar kaarten. Op zijn beurt kunnen de rest acht en twintig plaatsen nemen, en in arbitraire volgorde. Dat wil zeggen, voor de uitwisseling van achtentwintig kaarten zijn er achtentwintig varianten P_28 = 28!

Uiteindelijk blijkt dat als we de oplossing overwegen, als de eerste kaart over de seconde is, worden de extra mogelijkheden 29 ⋅ 28! = 29!

Met dezelfde methode moet u het aantal redundante opties berekenen voor het geval dat de eerste kaart onder de tweede is. Het blijkt ook 29 ⋅ 28! = 29!

Hieruit volgt dat de extra opties 2 ⋅ 29!, Terwijl de nodige manieren om een dek van 30 te verzamelen! - 2 ⋅ 29! Het blijft alleen te tellen.

30! = 29! ⋅ 30; 30! - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu moeten we alle cijfers vermenigvuldigen van een tot negenentwintig, vermeerder dan alles met 28. Aan het einde krijgen we 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Oplossing van het voorbeeld. De formule voor het aantal plaatsen

In deze taak is het nodig om uit te vinden hoeveel manieren er vijftien volumes op een plank moeten zijn, maar op voorwaarde dat alle volumes dertig zijn.

In dit probleem is de oplossing iets eenvoudiger dan in de vorige. Met behulp van de reeds bekende formule is het nodig het totale aantal afspraken te berekenen van dertig volumes tot vijftien.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Het antwoord is respectievelijk 202 843 204 931 727 360 000.

Laten we nu de taak een beetje ingewikkelder maken. Het is nodig om uit te vinden hoeveel manieren er dertig boeken op twee boekenplanken moeten plaatsen, mits slechts vijftien volumes op één plank kunnen zijn.

Voor het begin van de oplossing wil ik u verduidelijken dat sommige problemen op verschillende manieren opgelost zijn, dus er zijn twee manieren in deze, maar beide gebruiken dezelfde formule.

In deze taak kunnen we het antwoord van de vorige aannemen, omdat we berekenen hoeveel keer het mogelijk is om de plank voor vijftien boeken op verschillende manieren te vullen. Het bleek dat A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

De tweede plank wordt berekend volgens de permutatieformule, aangezien er vijftien boeken erin zijn geplaatst, terwijl er nog maar vijftien boeken overblijven. We gebruiken de formule P_15 = 15!.

Het blijkt dat de som A3030 is, maar daarnaast wordt het product van alle getallen van dertig tot zestien vermenigvuldigd met een product van getallen van 1 tot en met 15, uiteindelijk krijgen we het product van alle getallen van 1 tot 30, dat wil zeggen het antwoord Is gelijk aan 30!

Maar deze taak kan op een andere manier opgelost worden - het is makkelijker. Om dit te kunnen doen, kunt u zich voorstellen dat er dertig boeken bestaat. Ze zijn allemaal op dit vliegtuig geplaatst, maar omdat de conditie vereist dat er twee planken zijn, snijden we een lange zaag in de helft, we krijgen twee voor vijftien. Hieruit blijkt dat de varianten van de regeling P_30 = 30! Kunnen zijn.

Oplossing van het voorbeeld. De formule voor het combinatienummer

Nu zullen we een variant van het derde probleem van combinatorics overwegen. Het is nodig om uit te vinden hoeveel manieren er vijftien boeken moeten regelen, mits u van dertig absoluut identiek moet kiezen.

Voor de oplossing zal natuurlijk de formule voor het aantal combinaties worden toegepast. Uit de voorwaarde blijkt dat de volgorde van de identieke vijftien boeken niet belangrijk is. Daarom is het in eerste instantie nodig om het totaal aantal combinaties van dertig boeken met vijftien te achterhalen.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Dat is alles Met behulp van deze formule, in de kortste tijd was het mogelijk om een dergelijk probleem op te lossen, is het antwoord respectievelijk 155 117 520.

Oplossing van het voorbeeld. De klassieke definitie van waarschijnlijkheid

Met behulp van de bovenstaande formule vindt u het antwoord in een eenvoudige taak. Maar dit zal visueel helpen om de gang van zaken te zien en te volgen.

In het probleem wordt er aan gegeven dat er tien helemaal identieke ballen in de urn zijn. Van deze zijn vier geel en zes zijn blauw. Een bal wordt uit de urn genomen. Je moet de kans weten om blauw te worden.

Om het probleem op te lossen is het noodzakelijk om de gebeurtenis van de blauwe bal aan te geven. Deze ervaring kan tien resultaten hebben, die op hun beurt elementair en even mogelijk zijn. Tegelijkertijd zijn uit tien tien zes gunstig voor het evenement A. We bepalen volgens de formule:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Het toepassen van deze formule, hebben we geleerd dat de mogelijkheid dostavaniya blauwe bal is 0,6.

Voorbeelden van oplossingen. De kans op gebeurtenissen bedrag

Die een variant is opgelost met de formule waarschijnlijkheid van gebeurtenissen bedrag. Dus, gezien de voorwaarde dat er twee gevallen, de eerste is grijs en vijf witte ballen, terwijl de tweede - acht grijs en vier witte ballen. Als gevolg daarvan zijn de eerste en tweede dozen genomen op een van hen. Het is noodzakelijk om uit te vinden wat zijn de kansen dat miste de ballen zijn grijs en wit.

Om dit probleem op te lossen, is het noodzakelijk om het evenement te identificeren.

• Dus A - we hebben een grijze stip van de eerste doos: P (A) = 1/6.
• A '- witte lamp ook uit de eerste box: P (A) = 5/6.
• De - reeds geëxtraheerde grijze stip van het tweede kanaal: P (B) = 03/02.
• B '- neemt een grijze stip van de tweede lade: P (B) = 03/01.

Volgens het probleem is het noodzakelijk dat één van de verschijnselen gebeurd: AB 'of' B. Met de formule krijgen we: P (AB) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Nu is de formule van de kans te vermenigvuldigen werd gebruikt. Vervolgens, om uit te vinden het antwoord, moet je hun vergelijking toevoegen van toepassing:

P = P (AB + A'B) = P (AB) + P (A'B) = 11/18.

Dat is hoe, met behulp van de formule, kunt u dergelijke problemen op te lossen.

resultaat

Het papier werd gepresenteerd aan de informatie over "kansrekening", de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen die een belangrijke rol spelen. Natuurlijk is niet alles in overweging genomen, maar op basis van de gepresenteerde tekst, kunt u in theorie krijgen kennis te maken met deze tak van de wiskunde. Beschouwd als wetenschap kan nuttig zijn, niet alleen in de professionele business, maar ook in het dagelijks leven. U kunt het gebruiken om elk risico van een gebeurtenis te berekenen.

De tekst werd ook beïnvloed door belangrijke data in de geschiedenis van de ontwikkeling van de kansrekening als wetenschap, en de namen van de mensen van wie de werken zijn gestoken. Dat is hoe menselijke nieuwsgierigheid heeft geleid tot het feit dat mensen hebben geleerd te tellen, zelfs willekeurige gebeurtenissen. Zodra ze zijn gewoon geïnteresseerd in deze, maar vandaag is het al bekend voor iedereen. En niemand kan zeggen wat er zal gebeuren met ons in de toekomst, welke andere briljante ontdekkingen met betrekking tot de theorie in kwestie zou worden gepleegd. Maar een ding is zeker - de studie nog steeds niet de moeite waard!